Rémi MEVAERE - 16/02/2021
Le repère de Frenet, que l'on doit au mathématicien et astronome Jean Frédéric Frenet $^{[1],[2]}$ (1816 - 1900 à Périgueux) permet d'étudier les mouvements (en cinématique) des corps au voisinage local des courbes. Je me propose dans cet article de clarifier ce concept en utilisant une démonstration purement géométrique.
Le long d'une trajectoire quelconque, on peut définir localement en M un cercle osculateur (de centre C) qui vient épouser la courbure du mouvement. On défini alors une base locale pour décrire le mouvement en s'appuyant sur le trièdre de Frenet qui est défini par trois vecteurs $(\vec{e_N},\vec{e_T},\vec{e_B})$.
Le référentiel d'étude est composé d'un repère d'espace $(O,x,y,z)$ et d'une horloge.
La vitesse est par définition relative à un référentiel :
$$ \overrightarrow{V_{A/\mathcal{R}}}=\left(\frac{d\overrightarrow{OA}}{dt} \right)\mathcal{R}=\left(\frac{d\overrightarrow{OA}}{ds} \right)\mathcal{R}\left(\frac{ds}{dt}\right)_\mathcal{R} $$
Pour dériver convenablement la formule donnant la vitesse, il faut décrire convenablement la géométrie du problème, sans en restreindre trop la généralité. Ce que je présente ci-dessous en effectuant un agrandissement.
Pour notre démonstration on passe d'un élément différentiel, infiniment petit $d\overrightarrow{OA}$ à un élément plus grand et plus accessible pédagogiquement $\Delta \overrightarrow{OA}$ qui est la variation du vecteur $\overrightarrow{OA}$ entre t et t + dt.
$$ \Delta \overrightarrow{OA} \approx \overrightarrow{OA}(t+dt) - \overrightarrow{OA}(t) $$
$$ \Delta \overrightarrow{OA} \approx \overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AA'} $$
Pour une petite variation, on peut considérer au premier ordre que :
$$ \Delta S \approx ||\overrightarrow{AA'}|| = AA' $$
$$ \overrightarrow{V_{A/\mathcal{R}}}=\left(\frac{d\overrightarrow{OA}}{ds} \right)\mathcal{R}\left(\frac{ds}{dt}\right)\mathcal{R}\approx \left(\frac{ds}{dt}\right)\mathcal{R}\left( \frac{\Delta \overrightarrow{OA}}{\Delta S} \right)\mathcal{R} \approx \left(\frac{ds}{dt}\right)\mathcal{R}\left( \frac{ \overrightarrow{AA'}}{AA'} \right)\mathcal{R} =\mathcal{v} \cdot \vec{e_T} $$
On obtient alors la vitesse de l'objet A dans le référentiel $\mathcal{R}$, cette vitesse est tangente à la trajectoire.
$$ \overrightarrow{V_{A/\mathcal{R}}}=\mathcal{v} \cdot \overrightarrow{e_T} $$
$$ \overrightarrow{V_{A/\mathcal{R}}}=\mathcal{v} \cdot \overrightarrow{e_T} $$
Pour obtenir l'accélération, en cinématique on dérive :
$$ \overrightarrow{a_{A/\mathcal{R}}}=\left(\frac{d\mathcal{v}}{dt} \right)\mathcal{R}\vec{e_T} + \mathcal{v} \left(\frac{d\mathcal{\vec{e_T}}}{dt} \right)\mathcal{R} $$
Comme précédemment et pour le deuxième membre on cherche la variation du vecteur $\Delta \vec{e_T}$ :
$$ \Delta \overrightarrow{e_T} = \overrightarrow{A'I'} - \overrightarrow{AI} =\overrightarrow{AJ} -\overrightarrow{AI} $$
$$ \Delta \overrightarrow{e_T} = \overrightarrow{IJ}=IJ \cdot \vec{e_N} $$