Rémi MEVAERE - 18/12/2020
En 1827, Robert Brown (Botaniste Écossais) observe le pollen du Clarkia pulchella et constate, au microscope, la présence de très petites particules bougeant dans tous les sens. Il renouvelle cette observation chez d’autres plantes, croyant dans un premier temps en la manifestation d’un « fluide vital ». L’observation du même phénomène sur des particules anorganiques le fait changer d’avis. Il publie ses résultats en 1828 dans un opuscule au long titre « A brief account of microscopical observations on the particles contained in the pollen of plants ; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies », reconnaissant dans ce dernier, qu’il avait été précédé par d’autres savants dans la constatation de ces mouvements erratiques. L’explication de ceux-ci ne sera donné que bien plus tard par la théorie atomiste.
Robert Brown (1773-1858), est un chirurgien, botaniste et explorateur écossais.
Le mouvement brownien (aussi appelé marche au hasard) revêt une importance particulière dans l’étude de la nature. Il permit à l’époque, une confirmation de l’existence des atomes, mais aussi l’évaluation du nombre d’Avogadro. Les recherches associées à ce mouvement sont encore utilisées aujourd’hui dans de nombreux domaines des sciences physiques mais aussi dans la finance (analyse des cours boursiers). On parle de processus stochastique. Ces travaux sont associés à des scientifiques prestigieux comme Albert EINSTEIN et Jean PERRIN.
En 1905, Albert Einstein donne une description quantitative du mouvement brownien et indique notamment que des mesures faites sur le mouvement permettent d’en déduire leur dimension moléculaire. Jean Perrin réalise ce programme et publie en 1909 une valeur du nombre d’Avogadro, ce qui lui vaut un prix Nobel en 1926. Il décrit également l’extrême irrégularité des trajectoires qui n’ont de tangente en aucun point. […]
— Jean Perrin (physicien français né à Lille)
L'exemple de l'ivrogne pour comprendre le mouvement stochastique
On se propose dans ce petit papier de modéliser le mouvement brownien suivant une approche élémentaire. On se servira du modèle de l’ivrogne (représentant une particule).
Mouvement brownien vu au microscope de microbilles de 1 $\mu m$ de diamètre dans l’eau. Les particules ont un mouvement aléatoire. [3]
Importons les bibliothèques nécessaires en Python :
# Mathématiques et calculs
import random
from statistics import mean
import numpy as np
# Graphiques
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import animation
# Configuration pour avoir un rendu convenable dans Jupyter
%matplotlib inline
from IPython.display import HTML, Image
matplotlib.rcParams['animation.html'] = 'html5' # Affichage des vidéos
matplotlib.rcParams['figure.dpi'] = 150 # Définition des images/vidéos
Dans l’étude du transport de grandeurs physiques par des molécules, le physicien peut, en première approximation adopter un modèle stochastique appelé marche au hasard. C’est le cas par exemple dans l’interprétation de la viscosité pouvant être considérée comme le transport d’une quantité de mouvement. Comme écrit plus haut, le modèle utilisé est celui de l’ivrogne, celui-ci effectue aléatoirement soit un pas dans un sens, soit un pas dans un autre mais toujours d'une longueur constante. On nomme cette longueur : libre parcours moyen et nous la notons $\mathbf{l}$.
🚩 Attention : les bouts de code ci-dessous ne sont pas optimisés. Ils datent d'une époque ou j'avais une expertise bien limitée en python.